Sisällysluettelo
- Normaali (Bell Curve) -jakauma
- Riskit ja tuotot
- Moderni portfolion teoria
- Rakennuspalikat
- Nopea esimerkki MPT: stä
- MPT: n ja jakelun haasteet
- Pohjaviiva
Normaalijakauma on todennäköisyysjakauma, joka kuvaa kaikki arvot symmetrisesti siten, että suurin osa tuloksista on todennäköisyyden keskiarvon ympärillä.
Normaali (Bell Curve) -jakauma
Tietoryhmillä (kuten 100 ihmisen korkeus, luokan 45 oppilaan saamat arvosanat jne.) On yleensä useita arvoja samassa tietopisteessä tai samalla alueella. Tätä datapisteiden jakautumista kutsutaan normaaliksi tai kellokäyrän jakaumaksi.
Esimerkiksi 100 yksilön ryhmässä 10 voi olla alle 5 jalkaa pitkä, 65 voi seisoa välillä 5–5, 5 jalkaa ja 25 olla yli 5, 5 jalkaa. Tämä alueeseen sidottu jakauma voidaan piirtää seuraavasti:
Samalla tavoin datapisteet, jotka on piirretty graafiin mille tahansa tietylle datajoukolle, voivat muistuttaa erityyppisiä jakaumia. Kolme yleisimmistä ovat vasen, oikea ja tasattu jakauma:
Huomaa punainen trendi kaikissa näissä kaavioissa. Tämä viittaa karkeasti tiedon jakelukehitykseen. Ensimmäinen, ”Vasen kohdistettu jakelu”, osoittaa, että suurin osa datapisteistä kuuluu alemmalle alueelle. Toisessa ”RIGHT Alignment Distribution” -diagrammissa suurin osa datapisteistä putoaa alueen korkeampaan päähän, kun taas viimeinen, “Jumbled Distribution”, edustaa sekoitettua tietojoukkoa ilman selvää trendiä.
On paljon tapauksia, joissa datapisteiden jakautumisella on taipumus olla keskusarvon ympärillä, ja että kuvaaja näyttää täydellisen normaalijakauman - tasapainossa molemmilla puolilla, ja suurin osa datapisteistä on keskittynyt keskustaan.
Tässä on täydellinen, normaalisti jaettu tietojoukko:
Keskiarvo tässä on 50 (jolla on eniten datapisteitä), ja jakelu kapenee tasaisesti kohti äärimmäisiä loppua-arvoja 0 ja 100 (joissa on vähiten datapisteitä). Normaalijakauma on symmetrinen keskiarvon ympäri siten, että molemmilla puolilla on puolet arvoista.
Kellokäyrän jakautumiseen sopii paljon tosielämän esimerkkejä:
- Heitä reilun kolikon monta kertaa (sanoen vähintään 100 kertaa) ja saat tasapainoisen normaalin jakauman pään ja hännän välillä.Kierrä pari reilua noppaa monta kertaa (sanoen 100 kertaa tai enemmän) ja tulos on tasapainoinen, normaali jakauma keskittyy luvun 7 ympärille ja kaventuu tasaisesti kohti ääriarvojen arvoja 2 ja 12.Ohkojen luokan ryhmän yksilöiden korkeus ja luokan ihmisten saamat arvosanat noudattavat molemmat normaaleja jakautumismalleja.Rahoituksessa muutokset lokiarvot valuuttakurssien, hintaindeksien ja osakekurssien oletetaan jakautuvan normaalisti.
Riskit ja tuotot
Kaikilla sijoituksilla on kaksi näkökohtaa: riski ja tuotto. Sijoittajat etsivät matalinta mahdollista riskiä saadakseen mahdollisimman suuren tuoton. Normaalijakauma määrittelee nämä kaksi näkökohtaa tuoton keskiarvon ja riskin keskihajonnan perusteella. (Katso lisätietoja kohdasta "Keskiarvon varianssianalyysi.")
Keskimääräinen tai odotettu arvo
Erityinen osakekurssin muutos voi olla 1, 5% päivittäin - tarkoittaen, että keskimäärin se nousee 1, 5%. Tämä keskimääräinen arvo tai odotettu tuotto, joka merkitsee tuottoa, voidaan saada laskemalla keskiarvo riittävän suurella tietoaineistolla, joka sisältää kyseisen osakkeen historialliset päivittäiset hintamuutokset. Mitä korkeampi keskiarvo, sitä parempi.
Vakiopoikkeama
Vakiopoikkeama osoittaa määrän, jolla arvot poikkeavat keskimäärin keskiarvosta. Mitä korkeampi keskihajonta, sitä vaarallisempi on sijoitus, koska se lisää epävarmuutta.
Tässä on graafinen esitys samasta:
Siksi normaalin jakauman graafinen esitys keskimääräisen ja keskihajonnan kautta mahdollistaa sekä tuottojen että riskien esittämisen selvästi määritellyllä alueella.
Se auttaa tietämään (ja voimme olla varma), että jos jokin tietojoukko noudattaa normaalia jakelukuviota, sen keskiarvo antaa meille tietää mitä palauttaa odotettavissa olevaan arvoon, ja sen keskihajonta antaa meille tietää, että noin 68% arvoista on yhden standardipoikkeaman sisällä, 95% 2 keskihajonnan sisällä ja 99% arvoista on 3 standardipoikkeaman sisällä. Tietojoukko, jonka keskiarvo on 1, 5 ja keskihajonta on 1, on paljon vaarallisempi kuin toinen tietojoukko, jonka keskiarvo on 1, 5 ja keskihajonta on 0, 1.
Kun tiedät nämä arvot kullekin valitulle omaisuuserälle (ts. Osakkeet, joukkovelkakirjat ja rahastot), sijoittaja tiedostaa odotettavissa olevat tuotot ja riskit.
Tätä konseptia on helppo soveltaa ja se edustaa yhden osakkeen, joukkovelkakirjalainan tai rahaston riskiä ja tuottoa. Mutta voidaanko tämä laajentaa useiden omaisuuserien salkkuun?
Yksilöt aloittavat kaupankäynnin ostamalla yhden osakkeen tai joukkovelkakirjalainan tai sijoittamalla sijoitusrahastoon. Vähitellen heillä on taipumus kasvattaa omistusosuuksiaan ja ostaa useita osakkeita, rahastoja tai muita varoja, mikä luo salkun. Tässä inkrementaarisessa skenaariossa yksilöt rakentavat portfolionsa ilman strategiaa tai paljon ennakoitua. Ammattimaiset rahastonhoitajat, kauppiaat ja markkinatalouden päättäjät noudattavat systemaattista menetelmää rakentaakseen salkkuaan käyttämällä matemaattista lähestymistapaa, jota kutsutaan nykyaikaiseksi salkun teoriaksi (MPT), joka perustuu käsitteeseen "normaali jakaminen".
Moderni portfolion teoria
Moderni portfolion teoria (MPT) tarjoaa systemaattisen matemaattisen lähestymistavan, jonka tavoitteena on maksimoida salkun odotettu tuotto tietylle salkun riskille valitsemalla eri omaisuuserien osuudet. Vaihtoehtoisesti se tarjoaa myös minimoida tietyn odotetun tuoton tason riskit.
Tämän tavoitteen saavuttamiseksi salkkuun sisällytettäviä varoja ei pitäisi valita yksinomaan heidän henkilökohtaisten ansioidensa perusteella, vaan sen perusteella, kuinka kukin omaisuuserä toimii suhteessa muihin salkussa oleviin varoihin.
Lyhyesti sanottuna MPT määrittelee kuinka parhaiten saavuttaa salkun hajauttaminen parhaiden mahdollisten tulosten saavuttamiseksi: enimmäistuotot hyväksyttävälle riskitasolle tai minimaaliset riskit halutulle tuoton tasolle.
Rakennuspalikat
MPT oli niin vallankumouksellinen käsite, kun se otettiin käyttöön, että sen keksijät voittivat jalopalkinnon. Tämä teoria tarjosi onnistuneesti matemaattisen kaavan ohjaamaan sijoittamisen monipuolistamista.
Monipuolistaminen on riskienhallintatekniikka, joka poistaa riskin ”kaikki munat yhdessä korissa” sijoittamalla korreloimattomiin osakkeisiin, sektoreihin tai omaisuusluokkiin. Ihannetapauksessa salkun yhden omaisuuserän positiivinen kehitys poistaa muiden varojen negatiivisen tuloksen.
Sellaisen salkun keskimääräisen tuoton laskemiseksi, jolla on n eri omaisuutta, lasketaan osatekijöiden painotettu yhdistelmä varojen tuottoista.
Tilastollisten laskelmien luonteesta ja normaalijakaumasta johtuen koko salkun tuotto (R p) lasketaan seuraavasti:
Rp = Σwi Ri
Summa (∑), missä w i on salkussa olevan omaisuuden i suhteellinen paino, R i on omaisuuden i tuotto (keskiarvo).
Salkun riski (tai keskihajonta) on mukana olevien varojen korrelaatioiden funktio kaikille omaisuusparille (suhteessa pariin nähden).
Tilastollisten laskelmien luonteen ja normaalin jakauman vuoksi kokonaiskannan riski (Std-dev) p lasketaan seuraavasti:
(Std-dev) p = sqrt
Tässä yhteydessä cor-cof on korrelaatiokerroin varojen i ja j tuottojen välillä, ja sqrt on neliöjuuri.
Tämä hoitaa kunkin omaisuuden suhteellisen suorituskyvyn suhteessa toiseen.
Vaikka tämä vaikuttaa matemaattisesti monimutkaiselta, tässä käytetty yksinkertainen käsite sisältää paitsi yksittäisten omaisuuserien keskihajonnan myös myös niihin liittyvät toistensa suhteen.
Hyvä esimerkki on täällä Washingtonin yliopistosta.
Nopea esimerkki MPT: stä
Ajatellaanko kokeiluna, että olemme salkunhoitajaa, jolle on annettu pääomaa ja jonka tehtävänä on määrätä pääoma kahdelle käytettävissä olevalle omaisuudelle (A & B), jotta odotettu tuotto olisi maksimoitu ja riski pienentyisi.
Meillä on myös saatavana seuraavat arvot:
Ra = 0, 175
Rb = 0, 055
(Std-dev) a = 0, 258
(Std-dev) b = 0, 115
(Std-dev) ab = -0, 004875
(Cor-cof) ab = -0, 164
Alkaen tasa-arvoisesta 50-50 allokoinnista kullekin omaisuuserälle A & B, Rp laskee arvoon 0, 115 ja (Std-dev) p tulee arvoon 0, 1332. Yksinkertainen vertailu kertoo meille, että tälle 2 omaisuuserälle sekä tuotto että riski ovat puolivälissä kunkin omaisuuden yksilöllisten arvojen välillä.
Tavoitteenamme on kuitenkin parantaa salkun tuottoa, joka ylittää joko yksittäisen omaisuuden pelkän keskiarvon, ja vähentää riskiä siten, että se on pienempi kuin yksittäisten omaisuuserien tuotto.
Otetaan nyt omaisuuserän A pääomanjakoasema 1, 5 ja omaisuuserän B -0, 5 pääomanjakoasema. (Negatiivisella pääoman allokoinnilla tarkoitetaan sitä, että saaminen ja saatu pääoma käytetään ostamaan toisen omaisuuden positiivinen pääoman allokaatio ylijäämällä. toisin sanoen, oikaistamme kantaa B 0, 5 kertaa pääomalle ja käytämme tätä rahaa ostamaan osakekantaa A 1, 5 kertaa pääomaa.)
Näitä arvoja käyttämällä saadaan Rp arvoksi 0, 1604 ja (Std-dev) p arvoksi 0, 4005.
Samoin voimme edelleen käyttää erilaisia allokaatiopainoja omaisuuserille A ja B ja saapua erilaisiin Rp- ja (Std-dev) p -joukkoihin. Halutun tuoton (Rp) mukaan voidaan valita hyväksyttävin riskitaso (std-dev) p. Vaihtoehtoisesti halutulle riskitasolle voidaan valita paras käytettävissä oleva salkun tuotto. Kummallakin tavalla tämän matemaattisen portfolion teorian mallin avulla on mahdollista saavuttaa tavoite luoda tehokas salkku halutulla riski- ja tuottoyhdistelmällä.
Automatisoitujen työkalujen avulla voidaan helposti ja sujuvasti havaita parhaat mahdolliset allokoidut mittasuhteet helposti, ilman pitkien manuaalisten laskelmien tarvetta.
Tehokas raja, pääoman ehtoinen hinnoittelumalli (CAPM) ja MPT: tä käyttävä omaisuuden hinnoittelu kehittyvät myös samasta normaalista jakelumallista ja ovat jatko MPT: lle.
MPT: n (ja normaalin jakelun taustalla olevat) haasteet
Valitettavasti mikään matemaattinen malli ei ole täydellinen ja jokaisella on puutteita ja rajoituksia.
Periaatteena, että osakekurssien tuotot seuraavat normaalia jakelua, kyseenalaistetaan kerta toisensa jälkeen. On olemassa riittävästi empiiristä näyttöä tapauksista, joissa arvot eivät noudata oletettua normaalia jakaumaa. Monimutkaisten mallien perustaminen tällaisiin oletuksiin voi johtaa tuloksiin, joilla on suuria poikkeamia.
Menemällä MPT: hen, korrelaatiokerrointa ja kovarianssia koskevat pysyvät laskelmat ja oletukset (historiallisten tietojen perusteella) eivät välttämättä pidä paikkansa tulevien odotettavissa olevien arvojen suhteen. Esimerkiksi joukkovelkakirja- ja osakemarkkinat osoittivat täydellistä korrelaatiota Ison-Britannian markkinoilla kaudella 2001-2004, jolloin kummankin omaisuuden tuotot laskivat samanaikaisesti. Todellisuudessa päinvastainen on havaittu pitkillä historiallisilla ajanjaksoilla ennen vuotta 2001.
Sijoittajien käyttäytymistä ei oteta huomioon tässä matemaattisessa mallissa. Verot ja transaktiokustannukset jätetään huomiotta, vaikka oletetaan, että osittainen pääoman allokointi ja omaisuuden oikaisu mahdollisuus.
Todellisuudessa mikään näistä oletuksista ei välttämättä pidä paikkansa, mikä tarkoittaa, että toteutunut taloudellinen tuotto voi poiketa merkittävästi odotetusta voitosta.
Pohjaviiva
Matemaattiset mallit tarjoavat hyvän mekanismin joidenkin muuttujien kvantifioimiseksi yhdellä, jäljitettävillä numeroilla. Mutta oletusten rajallisuuden vuoksi mallit saattavat epäonnistua.
Normaalijakauma, joka muodostaa salkun teorian perustan, ei välttämättä koske osakkeita ja muita rahoitusvarojen hintamalleja. Portfolio-teoriassa itsessään on paljon oletuksia, jotka tulisi tutkia kriittisesti ennen tärkeiden taloudellisten päätösten tekemistä.
