Mikä on Bayesin lause?
Bayesin lause, joka on nimetty 1700-luvun brittiläisen matemaatikon Thomas Bayesin mukaan, on matemaattinen kaava ehdollisen todennäköisyyden määrittämiseksi. Lause tarjoaa tavan tarkistaa olemassa olevia ennusteita tai teorioita (päivitystodennäköisyydet) uuden tai lisätodisteen perusteella. Rahoituksessa Bayesin lausetta voidaan käyttää arvioimaan riskiä lainata rahaa potentiaalisille lainanottajille.
Bayesin lausetta kutsutaan myös Bayesin sääntöksi tai Bayesin lakiksi ja se on perusta Bayesin tilastojen kentälle.
Avainsanat
- Bayesin lause antaa sinun päivittää tapahtuman ennustetut todennäköisyydet sisällyttämällä siihen uutta tietoa. Baysen lause on nimetty 1800-luvun matemaatikko Thomas Bayesin mukaan. Sitä käytetään usein rahoituksessa riskinarvioinnin päivittämisessä.
Kaava Bayesin lauseelle on
P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) missä: P (A) = A esiintymisen todennäköisyysP (B) = B: n esiintymisen todennäköisyysP (A∣B) = A: n todennäköisyys BP: lle (B∣A) = B: n todennäköisyys AP: lle (A⋂B)) = Sekä A: n että B: n todennäköisyys
Bayesin lause selitetty
Lauseen sovellukset ovat laajalle levinneitä eivätkä rajoitu vain finanssialaan. Esimerkiksi Bayes-lausetta voidaan käyttää lääketieteellisten testitulosten tarkkuuden määrittämiseen ottamalla huomioon, kuinka todennäköisesti jollakin tietyllä henkilöllä on sairaus, ja testin yleisen tarkkuuden. Bayesin lause perustuu aikaisempien todennäköisyysjakaumien sisällyttämiseen takaosan todennäköisyyksien tuottamiseksi. Aikaisempi todennäköisyys, Bayesin tilastollisella päätelmällä, on tapahtuman todennäköisyys ennen uuden tiedon keräämistä. Tämä on paras rationaalinen arvio tuloksen todennäköisyydestä nykyisen tiedon perusteella ennen kokeen suorittamista. Takaosan todennäköisyys on tarkistettu todennäköisyys tapahtumalle, joka tapahtuu uuden tiedon huomioon ottamisen jälkeen. Takaosan todennäköisyys lasketaan päivittämällä aikaisempi todennäköisyys käyttämällä Bayesin lausetta. Tilastollisesti takaosan todennäköisyys on tapahtuman A esiintymisen todennäköisyys, kun tapahtuma B on tapahtunut.
Bayesin lause antaa siten tapahtuman todennäköisyyden, joka perustuu uuteen tietoon, joka liittyy tai voi liittyä kyseiseen tapahtumaan. Kaavaa voidaan käyttää myös näkemään, kuinka hypoteettinen uusi tieto vaikuttaa tapahtuman todennäköisyyteen, olettaen että uusi tieto osoittautuu totta. Oletetaan esimerkiksi, että yksi kortti vedetään 52 kortin koko pakkauksesta. Todennäköisyys, että kortti on kuningas, on 4 jaettuna 52: llä, joka on 1/13 tai noin 7, 69%. Muista, että kannella on 4 kuninkaata. Oletetaan nyt paljastavan, että valittu kortti on kasvokortti. Valitun kortin todennäköisyys on kuningas, koska se on kasvokortti, jaettuna 4: llä 12: lla tai noin 33, 3%: lla, koska kannessa on 12 kasvokorttia.
Johdanna Bayes-lausekaava esimerkillä
Bayesin lause seuraa yksinkertaisesti ehdollisen todennäköisyyden aksioomista. Ehdollinen todennäköisyys on tapahtuman todennäköisyys, kun otetaan huomioon, että tapahtui toinen tapahtuma. Esimerkiksi yksinkertainen todennäköisyyskysymys voi kysyä: "Mikä on todennäköisyys, että Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) osakekurssi laskee?" Ehdollinen todennäköisyys vie tämän kysymyksen askeleen eteenpäin kysymällä: "Mikä on todennäköisyys, että AMZN: n osakekurssi putoaa, kun otetaan huomioon, että Dow Jones Industrial Average (DJIA) -indeksi laski aikaisemmin?"
A: n ehdollinen todennäköisyys, kun otetaan huomioon, että B on tapahtunut, voidaan ilmaista:
Jos A on: "AMZN-hinta laskee", niin P (AMZN) on todennäköisyys, että AMZN laskee; ja B on: "DJIA on jo alas", ja P (DJIA) on todennäköisyys, että DJIA putosi; silloin ehdollisen todennäköisyyslauseen lukema on "todennäköisyys, että AMZN putoaa, kun DJIA laskee, on yhtä suuri kuin todennäköisyys, että AMZN hinta laskee ja DJIA laskee yli todennäköisyyden, että DJIA-indeksi laskee.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN ja DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN ja DJIA) on todennäköisyys sekä A: n että B: n esiintymiselle. Tämä on myös sama kuin A: n esiintymisen todennäköisyys kerrottuna todennäköisyydellä, että B tapahtuu, kun otetaan huomioon, että A esiintyy, ilmaistuna muodossa P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Se, että nämä kaksi lauseketta ovat samat, johtaa Bayesin lauseeseen, joka kirjoitetaan seuraavasti:
jos, P (AMZN ja DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
sitten P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Missä P (AMZN) ja P (DJIA) ovat Amazonin ja Dow Jonesin todennäköisyyden putoamisen todennäköisyydet toisistaan riippumatta.
Kaava selittää hypoteesin todennäköisyyden suhteen ennen todisteiden näkemistä, että P (AMZN), ja hypoteesin todennäköisyyden välillä, kun on saatu todisteet P (AMZN | DJIA), antamalla hypoteesin Amazonille antamasta todistuksesta Dowssa.
Numeerinen esimerkki Bayesin lauseesta
Kuvittele numeerisena esimerkkinä, että on olemassa huumetesti, joka on 98% tarkka, eli 98% ajasta näyttää todellisen positiivisen tuloksen huumeita käyttävälle henkilölle ja 98% ajasta näyttää todellisen negatiivisen tuloksen huumeiden käyttäjille. huume. Oletetaan seuraavaksi, että 0, 5% ihmisistä käyttää huumeita. Jos satunnaisesti valitun henkilön testi on positiivinen huumeelle, voidaan suorittaa seuraava laskelma saadaksesi selville, onko henkilö todella huumeen käyttäjä.
(0, 98 x 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayesin lause osoittaa, että vaikka henkilö testattaisiin positiivisesti tässä tilanteessa, on itse asiassa paljon todennäköisempää, että henkilö ei ole huumeen käyttäjä.
