Binomiaalisen option hinnoittelumallin ymmärtäminen

Osakehintojen määrittäminen

Kaupan kohteena olevan omaisuuden tarkan hinnoittelun sopiminen on haastavaa - siksi osakekurssit muuttuvat jatkuvasti. Todellisuudessa yritykset tuskin muuttavat arvostustaan päivittäin, mutta osakekurssit ja arvonmuutos muuttuvat melkein joka toinen. Tämä vaikeus päästä yksimielisyyteen oikeasta hinnoittelusta kaikille vaihdettaville omaisuuserille johtaa lyhytaikaisiin arbitraasimahdollisuuksiin.

Mutta paljon onnistuneita sijoituksia johtuu yksinkertaisesta kysymyksestä nykypäivän arvostamisesta - mikä on oikea nykyhinta tänään odotettavissa olevalle voitolle?

Binominal Options -arviointi

Kilpailukykyisillä markkinoilla mielivaltamahdollisuuksien välttämiseksi omaisuuserillä, joilla on identtiset voittojärjestelyt, on oltava sama hinta. Optioiden arviointi on ollut haastava tehtävä ja hinnoitteluvaihtelut johtavat arbitraasimahdollisuuksiin. Black-Scholes on edelleen yksi suosituimmista malleista, joita käytetään hinnoitteluvaihtoehtoihin, mutta sillä on rajoituksia.

Binomiaalisen option hinnoittelumalli on toinen suosittu menetelmä hinnoitteluvaihtoehtoihin.

esimerkit

Oletetaan, että tietyllä osakkeella on myyntioptio, jonka nykyinen markkinahinta on 100 dollaria. ATM-vaihtoehdon rahan hinta on 100 dollaria, ja sen voimassaoloaika päättyy vuodeksi. Kaksi kauppaa, Peter ja Paula, ovat molemmat yhtä mieltä siitä, että osakekurssi nousee joko 110 dollariin tai laskee 90 dollariin vuodessa.

He ovat yhtä mieltä odotetusta hintatasosta tietyn vuoden aikana, mutta eivät ole yhtä mieltä nousun tai laskun todennäköisyydestä. Peter uskoo, että osakekurssin todennäköisyys nousta 110 dollariin on 60%, kun taas Paula uskoo olevan 40%.

Kuka sen perusteella olisi valmis maksamaan enemmän hintaa optio-oikeudesta? Mahdollisesti Peter, koska hän odottaa suurta todennäköisyyttä liikkeelle.

Binominal Options -laskelmat

Kaksi omaisuutta, joista arvostus riippuu, ovat optio-oikeus ja kohde-etuus. Osallistujien kesken on sovittu, että taustalla oleva osakekurssi voi siirtyä nykyisestä 100 dollarista joko 110 dollariin tai 90 dollariin vuodessa, eikä muita hintatarjouksia ole mahdollista.

Välimiesoikeudettomassa maailmassa, jos joudut luomaan salkun, joka koostuu näistä kahdesta omaisuudesta, osto-optiosta ja taustalla olevasta osakekannasta, siten, että riippumatta siitä, mihin kohdehinta menee - 110 dollaria vai 90 dollaria -, salkun netto tuotto pysyy aina samana. Oletetaan, että ostat "d" -osaketta kohde-etuuden ja lyhyen yhden puhelun optioista luodaksesi tämän salkun.

Jos hinta nousee 110 dollariin, osakkeesi arvo on 110 dollaria * d, ja menetät 10 dollaria lyhyen puhelun voitolla. Salkun nettoarvo on (110d - 10).

Jos hinta laskee 90 dollariin, osakkeesi arvo on 90 dollaria * d, ja optio loppuu arvottomasti. Salkun nettoarvo on (90d).

$\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ missä: \\ h = Korkein mahdollinen perushinta \\ d = Osakkeiden lukumäärä \\ m = Rahat menetetään lyhyen puhelun maksun yhteydessä \\ l = Alhaisin mahdollinen perushinta \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {missä:} \ & h = \ teksti {Korkein mahdollinen perushinta} \ & d = \ teksti {Taustalla olevien osakkeiden lukumäärä} \ & m = \ teksti {Rahat menetetään lyhyen puhelun maksamisen yhteydessä} \ & l = \ teksti {Alin potentiaalinen perushinta} \ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ H (d) −m = l (d) missä: h = korkein mahdollinen kohdehinta = kohde-etuuksien lukumäärä m = lyhyen puhelun yhteydessä menetetty raha = alin mahdollinen perushinta

Joten jos ostat puolet osakkeesta, olettaen, että osittaiset ostot ovat mahdollisia, onnistut luomaan salkun siten, että sen arvo pysyy samana molemmissa mahdollisissa valtioissa tietyn vuoden aikana.

$\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ aloita {kohdistettu} ja 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ loppu {kohdistettu}$ 110 d-10 = 90dd = 21

Tämä salkun arvo, joka on merkitty (90d) tai (110d - 10) = 45, on yhden vuoden linjassa. Sen nykyarvon laskemiseksi se voidaan diskonttaa riskittömällä tuottoprosentilla (olettaen 5%).

$\begin{matrix} Nykyarvo & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 vuosi)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} teksti {nykyarvo} & = 90d \ kertaa e ^ {(-5 \% \ kertaa 1 \ teksti {vuosi})} \ & = 45 \ kertaa 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {linjassa}$ Nykyarvo = 90d × e (−5% × 1 vuosi) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Koska tällä hetkellä salkku koostuu ½ osasta osakekantaa (markkinahinta 100 dollaria) ja yhdestä lyhyestä puhelusta, sen tulisi olla yhtä suuri kuin nykyarvo.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Puhelun hinta = $ 42.85 \\ Puhelun hinta = $ 7.14, eli tämän päivän puhelun hinta \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ frakti {1} {2} kertaa 100 - 1 \ kertaa \ teksti {puhelun hinta} = \ 422, 85 dollaria \\ & \ teksti {puhelun hinta} = \ 7, 14 dollaria \ teksti {eli puhelun hinta tänään} \ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ 21 × 100−1 × puheluhinta = 42, 85 dollariasoittohinta = 7, 14 dollaria, eli tämän päivän puheluhinta

Koska tämä perustuu oletukseen, että salkun arvo pysyy samana riippumatta siitä, mihin suuntaan perushinta menee, ylös- tai alaspäin-siirtymän todennäköisyydellä ei ole merkitystä. Salkku pysyy riskittömänä riippumatta hinnanmuutoksista.

Molemmissa tapauksissa (oletetaan nousevan 110 dollariin ja alaspäin siirtymään 90 dollariin) salkkusi on neutraali riskille ja ansaitsee riskittömän tuoton.

Siksi molemmat kauppiaat, Peter ja Paula, olisivat valmiita maksamaan saman 7, 14 dollaria tästä optio-oikeudesta huolimatta niiden erilaisista käsityksistä nousevien siirtojen todennäköisyydestä (60% ja 40%). Heidän yksilöllisesti havaitsemillaan todennäköisyyksillä ei ole merkitystä optioiden arvostuksessa.

Jos oletetaan sen sijaan, että yksittäisillä todennäköisyyksillä on merkitystä, arbitraasimahdollisuudet ovat saattaneet esiintyä. Todellisessa maailmassa tällaisia mielivaltamahdollisuuksia on pienillä hintaeroilla ja ne katoavat lyhyellä aikavälillä.

Mutta missä on kaikissa näissä laskelmissa huomattavasti suurempi volatiliteetti, tärkeä ja herkkä tekijä, joka vaikuttaa optioiden hinnoitteluun?

Volatiliteetti sisältyy jo ongelman määritelmän luonteeseen. Olettaen, että hinnat (ja vain kaksi - siksi nimi “binomiaalinen”) ovat hintatason (110 dollaria ja 90 dollaria), volatiliteetti sisältyy implisiittisesti tähän oletukseen ja sisällytetään automaattisesti (10% kummassakin tapauksessa tässä esimerkissä).

Black-Scholes

Mutta onko tämä lähestymistapa oikea ja johdonmukainen yleisesti käytetyn Black-Scholes-hinnoittelun kanssa? Valinnat-laskurin tulokset (OIC: n luvalla) vastaavat läheisesti laskettua arvoa:

Valitettavasti todellinen maailma ei ole niin yksinkertainen kuin ”vain kaksi valtiota”. Varastossa voi olla useita hintatasoja ennen voimassaolon päättymistä.

Onko mahdollista sisällyttää kaikki nämä useita tasoja binomiaaliseen hinnoittelumalliin, joka on rajoitettu vain kahteen tasoon? Kyllä, se on hyvin mahdollista, mutta sen ymmärtäminen vie yksinkertaista matematiikkaa.

Yksinkertainen matematiikka

Yleistä tämä ongelma ja ratkaisu:

"X" on osakkeen nykyinen markkinahinta ja "X * u" ja "X * d" ovat tulevaisuuden hinnat ylös- ja alaspäin liikkuville "t" -vuosille myöhemmin. Kerroin "u" on suurempi kuin yksi, koska se osoittaa liikkeen ylöspäin ja "d" on nollan ja yhden välillä. Edellä olevassa esimerkissä u = 1, 1 ja d = 0, 9.

Optio-oikeuksien voitot ovat "P _ylös " ja "P _dn " ylös ja alas liikkeille voimassaolon päättyessä.

$\begin{matrix} VUM = s \times X \times U - P_{ylös} \\ missä: \\ VUM = Salkun arvo nousevan liikkeen tapauksessa \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ teksti {VUM} = s \ kertaa X \ kertaa u - P_ \ teksti {ylös} \ & \ textbf {missä:} \ & \ text {VUM} = \ text {salkun arvo ylöspäin tapahtuvan siirron tapauksessa} \ \ loppu {kohdistettu}$ VUM = s × X × u − Pup missä: VUM = salkun arvo ylöspäin tapahtuvan siirron tapauksessa

$\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{alas} \\ missä: \\ VDM = Salkun arvo laskusuunnan yhteydessä \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ teksti {VDM} = s \ kertaa X \ kertaa d - P_ \ teksti {alas} \ & \ textbf {missä:} \ & \ text {VDM} = \ text {salkun arvo alaspäin siirryttäessä} \ \ loppu {kohdistettu}$ VDM = s × X × d − Pdown, jossa: VDM = Salkun arvo alamäen tapauksessa

Vastaavaa arvostusta varten kummassakin tapauksessa hintamuutos:

$s \times X \times U - P_{ylös} = s \times X \times d - P_{alas} s \ kertaa X \ kertaa u - P_ \ teksti {ylöspäin} = s \ kertaa X \ kertaa d - P_ \ teksti {alas}$ s x X x u-Pup = s x X x d-Pdown

$\begin{matrix} s & = \frac{P_{ylös} - P_{alas}}{X \times (U - d)} \\ = Hankittavien osakkeiden lukumäärä \\ riskitön salkku \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} s & = \ fra {P_ \ text {ylös} - P_ \ text {alas}} {X \ kertaa (u - d)} \ & = \ text {ostettavien osakkeiden lukumäärä} \ & \ fantomi {=} teksti {riskitön salkku} \ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = Osakkeiden lukumäärä, joka ostetaan = riskitön salkku

Salkun tulevaisuuden arvo t-vuoden lopussa on:

$\begin{matrix} Ylös siirtymisen tapauksessa & = s \times X \times U - P_{ylös} \\ = \frac{P_{ylös} - P_{alas}}{U - d} \times U - P_{ylös} \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} teksti {Jos siirrät ylöspäin} & = s \ kertaa X \ kertaa u - P_ \ teksti {ylös} \ & = \ frac {P_ \ teksti {ylös} - P_ \ teksti {alas} } {u - d} kertaa u - P_ \ text {ylös} \ \ loppu {kohdistettu}$ Ylöspäin Siirrä = s × X × u − Pup = u − dPup −P Down × u − Pup

$\begin{matrix} Jos siirryt alas & = s \times X \times d - P_{alas} \\ = \frac{P_{ylös} - P_{alas}}{U - d} \times d - P_{alas} \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} teksti {Siirrä alaspäin} & = s \ kertaa X \ kertaa d - P_ \ teksti {alas} \ & = \ frac {P_ \ text {ylös} - P_ \ text {alas} } {u - d} kertaa d - P_ \ teksti {alas} \ \ loppu {kohdistettu}$ Alas alaspäin Siirrä = s × X × d – Pdown = u − dPup −Pdown × d − Down

Nykypäivän arvo saadaan diskonttaamalla se riskitöntä tuottoprosenttia:

$\begin{matrix} PV = e (- R T) \times \\ missä: \\ PV = Nykypäivän arvo \\ R = Tuottoaste \\ T = Aika, vuosina \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ teksti {PV} = e (-rt) kertaa \ vasen \\ & \ textbf {missä:} \ & \ text {PV} = \ text {Nykypäivän arvo} \ & r = \ teksti {tuottoprosentti} \ & t = \ teksti {aika, vuosina} \ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ PV = e (−rt) × missä: PV = nykypäivän arvoarvo = palautumisprosentti = aika vuosina

Tämän tulisi vastata "s": n osakkeiden portfolion hallintaa X-hinnalla, ja lyhyen puhelun arvon "c" (nykyisen (s * X - c) omistusosuuden tulisi olla yhtä suuri kuin tämä laskelma.) "C": n ratkaiseminen antaa lopulta kuten:

Huomaa: Jos puhelupalkkio on lyhyt, sen tulisi olla salkun lisäys, ei vähennys.

$C = \frac{e (- R T)}{U - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} kertaa$ c = u-de (-RT) x

Toinen tapa kirjoittaa yhtälö on järjestämällä se uudelleen:

Otetaan "q" muodossa:

$q = \frac{e (- R T) - d}{U - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-RT) -d

Sitten yhtälöstä tulee:

$C = e (- R T) \times (q \times P_{ylös} + (1 - q) \times P_{alas}) c = e (-rt) kertaa (q \ kertaa P_ \ teksti {ylös} + (1 - q) kertaa P_ \ teksti {alas})$ c = e (-RT) x (q x Pup + (1-q) x Pdown)

Yhtälön uudelleenjärjestely q-muodossa on tarjonnut uuden näkökulman.

Nyt voit tulkita “q”: n todennäköisyytenä perustana olevan liikkeen noususta (koska “q” liittyy P _upiin ja “1-q” liittyy P _dn). Kaiken kaikkiaan yhtälö edustaa nykypäivän optiohintaa, sen voiton diskontatun arvon voimassaolon päättyessä.

Tämä "Q" on erilainen

Kuinka tämä todennäköisyys “q” eroaa taustan ylä- tai alaliikkeen todennäköisyydestä?

$\begin{matrix} VSP = q \times X \times U + (1 - q) \times X \times d \\ missä: \\ VSP = Osakkeen hinnan arvo tuolloin T \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ teksti {VSP} = q \ kertaa X \ kertaa u + (1 - q) kertaa X \ kertaa d \\ & \ textbf {missä:} \ & \ text {VSP} = \ teksti {Osakehinnan arvo ajankohtana} t \\ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × d missä: VSP = osakekurssin arvo ajankohtana t

Korvaten arvon "q" ja järjestämällä uudelleen osakekurssi hetkellä "t" tulee:

$\begin{matrix} Osakekurssi = e (R T) \times X \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ teksti {osakekurssi} = e (rt) kertaa X \\ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ Osakkeen hinta = e (rt) × X

Tässä oletetussa kahden valtion maailmassa osakekurssi nousee yksinkertaisesti riskitöntä tuottoprosenttia, aivan kuten riskitöntä omaisuutta, ja siten se on riippumaton kaikista riskeistä. Sijoittajat ovat välinpitämättömiä tämän mallin riskeihin nähden, joten tämä muodostaa riskineutraalin mallin.

Todennäköisyys “q” ja “(1-q)” tunnetaan riskineutraalina todennäköisyyksinä ja arvostusmenetelmä tunnetaan riskineutraalina arvostusmallina.

Esimerkki-skenaariossa on yksi tärkeä vaatimus - tulevaisuuden voittorakennetta vaaditaan tarkkuudella (taso 110 dollaria ja 90 dollaria). Todellisessa elämässä tällainen selkeys askelpohjaisista hintatasoista ei ole mahdollista; hinta liikkuu pikemminkin satunnaisesti ja voi asettua useille tasoille.

Laajentaaksesi esimerkkiä edelleen oleta, että kaksivaiheiset hintatasot ovat mahdollisia. Tiedämme toisen vaiheen lopulliset voitot ja meidän on arvostettava vaihtoehto tänään (ensimmäisessä vaiheessa):

Taaksepäin työskennellessä, välivaiheen ensimmäisen vaiheen arvostus (kohdassa t = 1) voidaan suorittaa käyttämällä lopullisia voittoja vaiheessa 2 (t = 2), sitten käyttämällä näitä laskettua ensimmäisen vaiheen arvostusta (t = 1) tämän päivän arvostus (t = 0) voidaan saavuttaa näillä laskelmilla.

Optioiden hinnoittelussa numero kaksi käytetään voittoja neljällä ja viidellä. Kolmannen hinnoittelun saamiseksi käytetään viiden ja kuuden voittoa. Lopuksi laskettuja voittoja kahdessa ja kolmessa käytetään hinnoittelulle numero yksi.

Huomaa, että tässä esimerkissä oletetaan sama tekijä ylös- ja alaspäin tapahtuville liikkeille molemmissa vaiheissa - u ja d ovat yhdistettyinä.

Toimiva esimerkki

Oletetaan, että myyntioptio, jonka merkintähinta on 110 dollaria, käy tällä hetkellä kauppaa 100 dollarilla ja päättyy yhden vuoden kuluttua. Vuotuinen riskitön osuus on 5%. Hinta odotetaan nousevan 20% ja laskevan 15% puolivuosittain.

Tässä u = 1, 2 ja d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

käyttäen edellä johdettua kaavaa

$q = \frac{e (- R T) - d}{U - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-RT) -d

saamme q = 0, 35802832

myyntioption arvo kohdassa 2, $\begin{matrix} p_{2} = e (- R T) \times (p \times P_{ylös ylös} + (1 - q) P_{updn}) \\ missä: \\ p = Myyntioption hinta \end{matrix} \ aloita {kohdistettu} & p_2 = e (-rt) kertaa (p \ kertaa P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {missä:} \ & p = \ text {myyntioptiohinnan hinta} \ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) missä: p = myyntioption hinta

P- _up- olosuhteissa taustalla on = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 dollaria, mikä johtaa P- _ylöspäin = nolla

P _updn -olosuhteissa perustana on = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 dollaria, mikä johtaa P _updn = 8 dollariin

P _dndn -olosuhteissa perustana oleva arvo on = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 dollaria, mikä johtaa P _dndn = 37, 75 dollariin

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1 - 0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Samoin p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

$p_{1} = e (- R T) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) kertaa (q \ kertaa p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (-RT) x (q x p2 + (1-q) P3)

Ja siten myyntioption arvo, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 dollaria.

Samoin binomimallien avulla voit hajottaa koko vaihtoehdon keston tarkentaaksesi useita vaiheita ja tasoja. Tietokoneohjelmien tai laskentataulukoiden avulla voit siirtyä taaksepäin askel kerrallaan saadaksesi halutun vaihtoehdon nykyarvon.

Toinen esimerkki

Oletetaan, että Eurooppa-tyyppinen myyntioptio on voimassa yhdeksän kuukautta, merkintähinta on 12 dollaria ja nykyinen perushinta 10 dollaria. Oletetaan riskitön 5%: n korko kaikilta ajanjaksoilta. Oletetaan joka kolmas kuukausi, että perushinta voi liikkua 20% ylös tai alas, jolloin saadaan u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 ja kolmivaiheinen binomipuu.

Punainen osoittaa taustalla olevat hinnat, kun taas sininen tarkoittaa myyntioptioiden voittoa.

Riskineutraali todennäköisyys "q" laskee arvoon 0.531446.

Käyttämällä yllä olevaa "q" -arvoa ja voittoarvoja t = yhdeksässä kuukaudessa, vastaavat arvot t = kuudessa kuukaudessa lasketaan seuraavasti:

Lisäksi, käyttämällä näitä laskettuja arvoja t = 6, arvot t = 3, sitten t = 0 ovat:

Se antaa myyntioption nykyarvoksi 2, 18 dollaria, melko lähellä sitä, mitä löydät tekemällä laskelmia Black-Scholes-mallilla (2, 30 dollaria).

Pohjaviiva

Vaikka tietokoneohjelmien käyttö voi tehdä näistä intensiivisistä laskelmista helppoja, tulevaisuuden hintojen ennustaminen on edelleen merkittävä rajoitus binomiomallien suhteen optioiden hinnoittelulle. Mitä hienompia aikavälejä, sitä vaikeampaa on ennustaa kunkin jakson lopussa suoritettavia voittoja korkealla tarkkuudella.

Joustavuus sisällyttää eri ajanjaksoina odotettavat muutokset on kuitenkin plus, mikä tekee siitä sopivan amerikkalaisten optioiden hinnoitteluun, mukaan lukien varhaisessa vaiheessa toteutettavat arvonmääritykset.

Binomiaalimallilla lasketut arvot vastaavat tarkalleen muista yleisesti käytetyistä malleista, kuten Black-Scholes, laskettuja arvoja, mikä osoittaa binomimallien hyödyllisyyden ja tarkkuuden optioiden hinnoittelussa. Binomial hinnoittelumalleja voidaan kehittää elinkeinonharjoittajan mieltymysten mukaan ja ne voivat toimia vaihtoehtona Black-Scholesille.

Sisällysluettelo: