Jatkuva korkokorko

Yhdistetty korko on korko, joka lasketaan alkuperäisestä pääomasta ja myös talletuksen tai lainan aikaisempien kausien kertyneistä koroista. Yhdistetyn koron vaikutus riippuu taajuudesta.

Oletetaan, että vuotuinen korko on 12%. Jos aloitamme vuoden 100 dollarilla ja yhdistämme vain kerran, vuoden lopussa pääoma kasvaa 112 dollariin (100 dollaria x 1, 12 = 112 dollaria). Jos yhdistämme sen sijaan kuukaudessa 1%: n, loppupäässä olemme vuoden lopussa yli 112 dollaria. Toisin sanoen 100 dollaria x 1, 01 ^ 12 hintaan 112, 68 dollaria. (Se on korkeampi, koska yhdistämme useammin.)

Jatkuvasti sekoitettu tuottaa yhdisteen yleisimmin kaikista. Jatkuva yhdistäminen on matemaattinen raja, jonka yhdistelmäkorko voi saavuttaa. Kyseessä on äärimmäinen yhdistelmätapaus, koska suurin osa koroista muodostuu kuukausittain, neljännesvuosittain tai puolivuosittain.

Puolivuosittaiset tuottoprosentit

Katsotaanpa ensin mahdollisesti hämmentävää sopimusta. Joukkovelkakirjamarkkinoilla tarkoitamme joukkovelkakirjalainojen vastaavaa tuottoa (tai joukkovelkakirjalainan ekvivalenttiperustetta). Tämä tarkoittaa, että jos joukkovelkakirjalainan tuotto on 6% puolivuosittain, sen joukkovelkakirjalainan vastaava tuotto on 12%.

Kuva Julie Bang © Investopedia 2019

Puolivuosituotto yksinkertaisesti kaksinkertaistuu. Tämä on mahdollisesti hämmentävää, koska 12%: n sidosekvivalenttisaantoissidoksen efektiivinen saanto on 12, 36% (eli 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Puolivuotisen tuoton kaksinkertaistaminen on vain joukkovelkakirjojen nimeämiskäytäntö. Siksi, jos luemme 8%: n sidoksesta, joka on muodostettu puolivuosittain, oletetaan, että tämä viittaa 4%: n puolivuosituottoon.

Neljännesvuosittain, kuukausittain ja päivittäin tuottoprosentit

Keskustelemme nyt korkeammista taajuuksista. Odotamme edelleen 12%: n vuotuista markkinakorkoa. Joukkovelkakirjojen nimityssopimuksissa tämä tarkoittaa 6% puolivuotista korkoa. Voimme nyt ilmaista neljännesvuosittaisen yhdistetyn koron funktiona markkinakorosta.

Kuva Julie Bang © Investopedia 2019

Kun otetaan huomioon vuosittainen markkinakorko ( r), neljännesvuosittainen korko ( r _q) saadaan:

$\begin{matrix} R_{q} = 4 \end{matrix} \ aloita {linjassa} & r_q = 4 \ vasen \\ \ loppu {linjassa}$ RQ = 4

Joten esimerkiksi esimerkissämme, jossa vuotuinen markkinakorko on 12%, neljännesvuosittainen korko on 11, 825%:

$\begin{matrix} R_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ aloita {linjassa} & r_q = 4 \ vasen \ cong 11, 825 \% \\ \ loppu {linjassa}$ rq = 4≅11.825%

Kuva Julie Bang © Investopedia 2019

Samanlainen logiikka koskee kuukausittaista yhdistämistä. Kuukausittainen korko ( r _m ) esitetään tässä vuotuisen markkinakoron ( r) funktiona :

Päivittäinen yhdistetty korko ( d) funktiona markkinakorosta ( r) saadaan:

$\begin{matrix} R_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ aloita {linjassa} r_d & = 360 \ vasen \\ & = 360 \ vasen \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ loppu {kohdistettu}$ rd = 360 = 360≅11.66%

Kuinka jatkuva yhdistäminen toimii

Kuva Julie Bang © Investopedia 2019

Jos nostamme yhdistelmätaajuutta rajaansa, sekoitamme jatkuvasti. Vaikka tämä ei välttämättä ole käytännöllistä, jatkuvasti sekoittuva korko tarjoaa uskomattoman käteviä kiinteistöjä. Osoittautuu, että jatkuvasti yhdistelty korko saadaan:

$\begin{matrix} R_{C O n T minä n U O U s} = \ln (1 + R) \end{matrix} \ aloita {kohdistettu} & r_ {jatkuva} = \ ln (1 + r) \ \ loppu {kohdistettu}$ rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () on luonnollinen loki ja esimerkissämme siis jatkuvasti sekoitettu nopeus on:

$\begin{matrix} R_{C O n T minä n U O U s} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ aloita {kohdistettu} & r_ {jatkuva} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) cong 11, 33 \% \\ \ loppu {kohdistettu}$ rcontinuous = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅11.33%

Päästämme samaan paikkaan ottamalla tämän suhteen luonnollinen loki: loppuarvo jaettuna aloitusarvolla.

$\begin{matrix} R_{C O n T minä n U O U s} = \ln (\frac{{Arvo}_{pää}}{{Arvo}_{alkaa}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & r_ {jatkuva} = \ ln \ vasen ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ vasen ( frac {112} {100} oikea) cong 11.33 \% \\ \ loppu {kohdistettu}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11.33%

Jälkimmäinen on yleinen laskettaessa jatkuvasti yhdisteltyä tuottoa varastolle. Esimerkiksi, jos osake hyppää 10 dollarista yhdeltä päivältä 11 dollariin seuraavana päivänä, jatkuvasti kootun päivittäisen tuoton antaa:

$\begin{matrix} R_{C O n T minä n U O U s} = \ln (\frac{{Arvo}_{pää}}{{Arvo}_{alkaa}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & r_ {jatkuva} = \ ln \ vasen ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ vasen ( frac { $ 11} { $ 10} oikea) cong 9.53 \% \\ \ loppu {kohdistettu}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

Mikä on niin hienoa jatkuvasti yhdistellyssä korossa (tai palautuksessa), että merkitsemme r _{c: llä} ? Ensinnäkin on helppo skaalata sitä eteenpäin. Kun annetaan pääoma (P), lopullinen varallisuutemme (n) vuodelta annetaan:

$\begin{matrix} w = P e^{R_{C} n} \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ loppu {yhdenmukaistettu}$ w = Perc n

Huomaa, että e on eksponentiaalifunktio. Esimerkiksi, jos aloitamme 100 dollarilla ja yhdistämme jatkuvasti 8 prosentilla kolmen vuoden aikana, lopullisen varallisuuden antaa:

$\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & w = \ 100 dollariae ^ {(0, 08) (3)} = \ 127, 12 dollaria \\ \ loppu {kohdistettu}$ w = $ 100e (0, 08) (3) = $ +127, 12

Diskonttaus nykyarvoon (PV) on vain yhdistelmä käänteisesti , joten tulevaisuuden arvon (F) nykyarvo, joka on yhdistetty jatkuvasti nopeudella ( r _c), saadaan:

$\begin{matrix} F: n PV: n määrä (n) vuodessa = \frac{F}{e^{R_{C} n}} = F e^{- R_{C} n} \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ teksti {F: n PV vastaanotettu (n) vuodessa} = \ fra {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ loppu {kohdistettu}$ F: n PV saatu (n) vuodessa = erc nF = Fe − rc n

Esimerkiksi, jos saat 100 dollaria kolmen vuoden aikana 6 prosentin jatkuvalla korolla, sen nykyarvo saadaan:

$\begin{matrix} PV = F e^{- R_{C} n} = ($ 100) e^{- (0.06) (3)} = $ 100 e^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ aloita {yhdenmukaistettu} & \ teksti {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( 100 dollaria) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ 100 dollaria e ^ {-0, 18} cong \ 83, 53 dollaria \\ \ end {linjassa}$ PV = Fe-rc n = ($ 100) e- (0, 06) (3) = $ 100e-0.18≅ $ 83, 53

Skaalaus usean ajanjakson aikana

Jatkuvasti yhdisteltyjen palautusten kätevä ominaisuus on, että se skaalautuu usean ajanjakson ajan. Jos ensimmäisen jakson tuotto on 4% ja toisen jakson tuotto on 3%, niin kahden jakson tuotto on 7%. Oletetaan, että aloitamme vuoden 100 dollarilla, joka nousee ensimmäisen vuoden lopussa 120 dollariin ja toisen vuoden lopussa 150 dollariin. Jatkuvasti yhdistelty tuotto on vastaavasti 18, 23% ja 22, 31%.

$\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ aloita {kohdistettu} & \ ln \ vasen ( frac {120} {100} oikea) cong 18.23 \% \\ \ end {$ ln (100120) ≅18.23%

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ aloita {kohdistettu} & \ ln \ vasen ( frac {150} {120} oikea) cong 22.31 \% \\ \ loppu {kohdistettu}$ ln (120150) ≅22.31%

Jos lisäämme nämä vain yhteen, saamme 40, 55%. Tämä on kahden jakson tuotto:

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ aloita {kohdistettu} & \ ln \ vasen ( frac {150} {100} oikea) cong 40.55 \% \\ \ end {$ ln (100150) ≅40.55%

Teknisesti ottaen jatkuva paluu on aikajohdonmukaista. Aikajohdonmukaisuus on tekninen vaatimus riskiarvolle (VAR). Tämä tarkoittaa, että jos yhden jakson paluu on normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja, haluamme, että myös usean jakson satunnaismuuttujat jaetaan normaalisti. Lisäksi monijaksoinen jatkuvasti yhdistetty tuotto jaetaan normaalisti (toisin kuin esimerkiksi yksinkertainen tuottoprosentti).

Pohjaviiva

Voimme muotoilla uudelleen vuotuiset korot puolivuotisiksi, neljännesvuosittain, kuukausittain tai päivittäin korkoiksi (tai tuottoprosentiksi). Yleisin yhdistelmä on jatkuva yhdistäminen, joka vaatii luonnollisen lokin ja eksponentiaalisen funktion käyttämistä, jota käytetään yleensä rahoituksessa haluttujen ominaisuuksiensa vuoksi - se skaalautuu helposti usean ajanjakson ajan ja on aikajohdonmukainen.

Sisällysluettelo:

Puolivuosittaiset tuottoprosentit

Neljännesvuosittain, kuukausittain ja päivittäin tuottoprosentit

Kuinka jatkuva yhdistäminen toimii

Skaalaus usean ajanjakson aikana

Pohjaviiva

Toimittajan valinta